일반적인 다층 퍼셉트론(MLP)을 활용해 역학 시스템을 모델링하는 팀과 시스템의 기하학적 제약 조건을 설계에 반영하는 팀은 결과물의 질적 수준에서 확연한 차이를 보입니다. 단순히 데이터를 많이 쌓는다고 해서 해결되지 않는 복잡한 역학적 구조가 존재하기 때문입니다. 특히 복소 평면 위에서 전개되는 $z^2 + c$와 같은 수식은 초기 조건에 극도로 민감한 프랙탈 경계를 형성하는데, 이를 제대로 이해하지 못한 채 신경망을 학습시키면 모델은 물리적 실체와 동떨어진 결과만을 내놓게 됩니다.
흔히 저지르는 오해와 실무적 착각
많은 개발자가 Neural ODE를 사용할 때 빠지는 첫 번째 함정은 'MLP는 보편적 근사자(Universal Approximator)이므로 충분한 층만 쌓으면 어떤 역학 시스템도 모사할 수 있다'는 믿음입니다. 하지만 실제 환경에서 MLP는 복소 해석학적 연속성을 보장하지 못하며, 이는 프랙탈과 같은 미세 구조를 학습할 때 심각한 에일리어싱(Aliasing) 현상을 유발합니다. 두 번째는 Neural ODE 자체가 미분 방정식 형태를 띠고 있으므로 그 내부 구조와 상관없이 항상 해석 가능할 것이라는 오해입니다. 하지만 ODE의 우변을 구성하는 함수 $f$가 블랙박스 형태의 MLP라면, 우리는 시스템이 '어떻게' 변하는지는 알 수 있어도 '왜' 그렇게 변하는지는 설명할 수 없습니다.
이러한 오해가 발생하는 이유는 우리가 보통 실수 공간에서의 최적화에만 익숙해져 있기 때문입니다. 복소수 데이터를 다룰 때 단순히 실수부와 허수부를 나누어 두 개의 입력 채널로 처리하면, 복소 함수가 가져야 할 가장 핵심적인 성질인 '홀로모픽(Holomorphic, 정칙)' 특성이 파괴됩니다. 이는 마치 지도에서 고도를 무시하고 위도와 경도만으로 산맥의 흐름을 파악하려는 것과 같습니다.
수면 아래에서 벌어지는 복소 해석학적 충돌
Holomorphic Neural ODE는 단순히 복소수를 입력받는 것을 넘어, 신경망의 모든 연산이 코시-리만(Cauchy-Riemann) 방정식을 만족하도록 강제합니다. 이는 네트워크가 학습하는 벡터장이 복소 평면 위에서 미분 가능함을 보장하며, 결과적으로 시스템의 위상 구조를 보존하게 만듭니다. 반면, 일반적인 MLP 기반의 Neural ODE는 학습 과정에서 이러한 제약이 없으므로, 데이터가 없는 영역에서 물리적으로 불가능한 불연속적인 흐름을 생성하곤 합니다.
여기에 KAN(Kolmogorov-Arnold Networks)이 결합되면 상황은 더욱 흥미로워집니다. 기존 MLP가 고정된 활성화 함수를 가진 노드와 학습 가능한 가중치(Weight)를 가진 에지로 구성된다면, KAN은 에지 자체에 학습 가능한 단변량 함수를 배치합니다. 이는 복잡한 다변수 함수를 단순한 함수의 합으로 분해할 수 있다는 수학적 원리에 기반합니다. 결과적으로 KAN은 MLP보다 훨씬 적은 파라미터로도 복잡한 비선형성을 잡아낼 수 있으며, 특히 기호적(Symbolic) 표현력이 뛰어나 역학 시스템의 배후에 숨겨진 수식을 역추적하는 데 유리합니다.
기하학적 제약을 우선시하는 새로운 사고 모델
성공적인 역학 시스템 모델링을 위해서는 '데이터 피팅'이 아닌 '구조적 정합성'에 집중하는 사고 모델이 필요합니다. 신경망을 단순한 회기 도구가 아니라, 대상 시스템이 따라야 할 수학적 법칙을 담는 그릇으로 보아야 합니다. Holomorphic Neural ODE를 설계할 때는 복소 평면의 기하학적 구조가 모델의 아키텍처 자체에 녹아들어야 합니다.
이때 KAN을 활용하면 모델의 투명성을 극적으로 높일 수 있습니다. 각 에지에서 학습된 함수들을 시각화함으로써, 시스템의 특정 성분이 어떤 물리적 의미를 갖는지 해석할 수 있게 됩니다. 이는 단순히 예측 오차를 줄이는 것을 넘어, 연구자가 시스템의 본질적인 작동 원리를 발견하도록 돕는 강력한 도구가 됩니다. 복소 역학의 혼돈 속에서 규칙성을 찾아내는 과정은 결국 수학적 제약 조건을 얼마나 영리하게 신경망에 주입하느냐에 달려 있습니다.
실제 도입 시 고려해야 할 현실적인 트레이드오프
물론 이러한 접근 방식이 모든 상황에서 정답은 아닙니다. KAN은 구조적 특성상 학습 초기 단계에서 MLP보다 계산 복잡도가 높을 수 있습니다. 특히 에지마다 개별 함수를 최적화해야 하므로 메모리 대역폭 활용 측면에서 비효율이 발생할 가능성이 큽니다. 실제로 KAN 1.0 초기 구현체 기준으로 동일 파라미터 수 대비 학습 속도가 MLP보다 느리다는 보고가 존재합니다. (출처: KAN 공식 기술 리포트 및 커뮤니티 벤치마크)
또한 홀로모픽 제약을 강하게 걸수록 모델의 표현 자유도는 제한됩니다. 만약 대상 시스템이 실제로 정칙 함수를 따르지 않는 노이즈 섞인 데이터라면, 오히려 모델이 데이터의 변동성을 따라가지 못하고 편향(Bias)이 생길 위험도 있습니다. 따라서 우리가 다루는 데이터가 복소 평면의 해석적 성질을 갖는지에 대한 사전 검증이 반드시 선행되어야 합니다.
결국 기술의 우위는 도구 자체가 아니라 도구를 선택하는 논리에 있습니다. 여러분의 프로젝트가 단순히 패턴을 흉내 내는 것에 그치지 않고, 시스템의 근본적인 '동역학'을 설명해야 한다면 블랙박스 MLP를 과감히 버리고 기하학적 제약 조건이 설계된 Holomorphic 구조를 검토해 보시기 바랍니다. 지금 바로 여러분의 손실 함수에 복소 해석학적 연속성을 보장하는 항을 추가해 보는 것은 어떨까요?
참고: arXiv CS.LG (Machine Learning)